算術幾何平均 (Arithmetic Geometric Mean)

2002-02-03
Revised 2026-01-31
細田　隆之

算術幾何平均(Arithmetic Geometric Mean)

算術平均と幾何平均による下記の漸化式は同じ値に収束し、これを算術幾何平均 (AGM, Arithmetic Geometric Mean)と呼ぶ。

an+1 ← (an + bn) / 2
bn+1 ← √(an bn)

証明

a0 > b0 とする。
a1 = (a0 + b0) / 2 < (a0 + a0) / 2 = a0
b1 = √(a0 b0) > √(b0 b0) = b0
a1 - b1 
= (a0 ＋ b0) / 2 - √(a0 b0) 
= 1 / 2 (√a0 - √bb0) > 0
帰納的に 
a0 > … > an > an+1 > bn+1 > bn > … > b0
より数列 {an}, {bn} は単調数列となり同じ値に収束する。Q.E.D.

プログラム例

Listing 1: _agm — Arithmetic Geometric Mean (ANSI C / ISO C89) 
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REFERENCES

  1. 数学選書 特殊関数入門, 一松　信(ひとつまつ・しん), 森北出版, 1999年

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